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【題目】如圖所示,四棱錐的底面是直角梯形，平面，,為中點，且.

（1）求證：平面；

（2）若與底面所成角為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）推導出及，則可證明平面.

（2）由已知線面角可得，以為坐標原點，分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面SBC的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）因為平面，平面，所以

在直角梯形中，,∴，∴，

又,所以平面.

（2）因為平面，所以是與底面所成角，，所以

以為坐標原點，分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，

由題意得B（4，0，0），E（2，0，0），C（2，2，0），S（0，0，2 ），

設平面的法向量為（x，y，z），

∴．

所以，即，

面的法向量，同理得面的法向量

二面角的余弦值為

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，側面，已知，，，點是棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）若函數有唯一的極小值點，求實數的取值范圍；

（2）求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某購物商場分別推出支付寶和微信“掃碼支付”購物活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用“掃碼支付”．現統計了活動剛推出一周內每天使用掃碼支付的人次，用表示活動推出的天數，表示每天使用掃碼支付的人次，統計數據如下表所示：

（1）根據散點圖判斷，在推廣期內，掃碼支付的人次關于活動推出天數的回歸方程適合用來表示，求出該回歸方程，并預測活動推出第天使用掃碼支付的人次；

（2）推廣期結束后，商場對顧客的支付方式進行統計，結果如下表：

支付方式

現金

會員卡

掃碼

比例

商場規定：使用現金支付的顧客無優惠，使用會員卡支付的顧客享受折優惠，掃碼支付的顧客隨機優惠，根據統計結果得知，使用掃碼支付的顧客，享受折優惠的概率為，享受折優惠的概率為，享受折優惠的概率為．現有一名顧客購買了元的商品，根據所給數據用事件發生的頻率來估計相應事件發生的概率，估計該顧客支付的平均費用是多少？

參考數據：設，，，

參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】平面內任意一點到兩定點、的距離之和為.

（1）若點是第二象限內的一點且滿足，求點的坐標；

（2）設平面內有關于原點對稱的兩定點，判別是否有最大值和最小值，請說明理由？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知Rt△ABC如圖（1），∠C＝90°，D.E分別是AC，AB的中點，將△ADE沿DE折起到PDE位置（即A點到P點位置）如圖（2）使∠PDC＝60°．

（1）求證：BC⊥PC；

（2）若BC＝2CD＝4，求點D到平面PBE的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BD的中點，E是棱CC1上任意一點．

（1）證明：BD⊥A1E；

（2）如果AB=2，，OE⊥A1E，求AA1的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為滿足人們的閱讀需求，圖書館設立了無人值守的自助閱讀區，提倡人們在閱讀后將圖書分類放回相應區域.現隨機抽取了某閱讀區500本圖書的分類歸還情況，數據統計如下（單位：本）.

文學類專欄

科普類專欄

其他類專欄

文學類圖書

100

40

10

科普類圖書

30

200

30

其他圖書

20

10

60

（1）根據統計數據估計文學類圖書分類正確的概率；

（2）根據統計數據估計圖書分類錯誤的概率；

（3）假設文學類圖書在“文學類專欄”、“科普類專欄”、“其他類專欄”的數目分別為，，，其中，，，當，，的方差最大時，求，的值，并求出此時方差的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點，若為線段上的動點（不含）.

（1）平面與平面是否互相垂直？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；

（2）求二面角的余弦值的取值范圍.

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