Question

【題目】平面內任意一點到兩定點、的距離之和為.

（1）若點是第二象限內的一點且滿足，求點的坐標；

（2）設平面內有關于原點對稱的兩定點，判別是否有最大值和最小值，請說明理由？

Answer 1

【答案】（1）；（2）有最大值，最小值.

【解析】

由橢圓的定義可以直接求出橢圓的標準方程.

（1）根據數量積的坐標運算公式，得到等式，與橢圓的標準方程聯立，解方程即可；

（2）設出兩點坐標，根據平面向量數量積的坐標表示公式，結合點在橢圓上和橢圓的范圍，可以求出的最大值及最小值.

因為，所以橢圓的定義可知：點的軌跡是以、為焦點的橢圓，，所以點的軌跡方程為：.

（1）設點的坐標為：，所以

，

因為，所以，與聯立，解得

，點的坐標為；

（2）存在最大值和最小值，理由如下：

根據題意，設的坐標分別為：，

，

則而，

所以，因為，所以，

.