Question

設（為實常數）.
（1）當時，證明：
①不是奇函數；②是上的單調遞減函數.
（2）設是奇函數，求與的值.

Answer 1

(1)見解析；（2）或.

試題分析：（1）①利用特殊值可證不是奇函數；②利用單調性的定義進行證明函數的單調性，經五步：取值，作差，化簡，判斷符號，下結論.（2）方法一：由代入化簡得：
，這是關于的恒等式，所以；方法二：由算出與的值，然后進行檢驗，考慮到分母不能為0，注意分與兩種情況進行討論.
試題解析：（1）①當時，，
，
所以，不是奇函數；             2分
②設，則，          3分

                5分
因為，所以，又因為，
所以                6分
所以，
所以是上的單調遞減函數.             7分
（2）是奇函數時，，
即對任意實數成立，
化簡整理得，這是關于的恒等式，   10分
所以所以或 .             12分
（2）另解：若，則由，得；          8分
由，解得：；              9分
經檢驗符合題意.                   10分
若，則由，得，
因為奇函數的定義域關于原點對稱，
所以，所以，             11分
由，解得：；
經檢驗符合題意。
所以.               12分