Question

【題目】已知橢圓：的離心率，左頂點為.過點作直線交橢圓于另一點，交軸于點，點為坐標原點.

（1）求橢圓的方程：

（2）已知為的中點，是否存在定點，對任意的直線，恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在說明理由；

（3）過點作直線的平行線與橢圓相交，為其中一個交點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定點，坐標為（3）

【解析】

（1）由已知條件求出橢圓的長半軸，短半軸長即可得解；

（2）聯立直線方程與橢圓方程得，求出坐標，然后結合向量的數量積運算即可得解；

（3）先將用表示，再結合基本不等式求解即可.

解：（1）∵左頂點為∴

又∵∴

又∵，∴橢圓的標準方程為.

（2）由已知，直線的斜率必存在，直線的方程為，

聯立得，，

設， ，則，

又為的中點，所以，

又因為點在直線上，則，

即點的坐標為，

又直線的方程為，

令，得點的坐標為，即

假設存在定點使得，則，

①若，顯然恒成立；

②若，因為，所以恒成立，

則，即

即定點的坐標為.

綜上，存在定點滿足題意；

（3）∵，∴的方程可設為，

由得點的橫坐標為

由，得

，當且僅當即時取等號，

∴當時，的最小值為.

故的最大值為.