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【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，記函數在區間的最大值為.最小值為，求的取值范圍.

【答案】（1）當時，函數的增區間為，無單調減區間；當時，函數的增區間為，減區間為；（2）.

【解析】

（1）求出函數的定義域，.分和兩種情況討論，即求的單調區間；

（2）當時，由（1）可得函數在區間單調遞減，在區間單調遞增，則 .比較和的大小，分和兩種情況討論，構造函數，求的取值范圍.

（1）函數的定義域為.

.

當時，恒成立，函數的增區間為，無單調減區間；

當時，令可得；令可得，

函數的增區間為，減區間為.

綜上，當時，函數的增區間為，無單調減區間；

當時， 函數的增區間為，減區間為.

（2）當時，由（1）可得函數在區間單調遞減，在區間單調遞增.

，，.

由.

①當時，，有.

記，則，

函數在單調遞減，，

即.

此時的取值范圍為.

②當時，，有.

記，則，

函數在單調遞增，，

即.

此時的取值范圍為.

綜上，的取值范圍為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓的左、右頂點為，，上、下頂點為，，記四邊形的內切圓為.

（1）求圓的標準方程；

（2）已知圓的一條不與坐標軸平行的切線交橢圓于P，M兩點.

（i）求證：；

（ii）試探究是否為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，側面⊥底面，底面為直角梯形，//，，，，為的中點．

（Ⅰ）求證：PA//平面BEF；

（Ⅱ）若PC與AB所成角為，求的長；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角F-BE-A的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】植物園擬建一個多邊形苗圃，苗圃的一邊緊靠著長度大于30m的圍墻．現有兩種方案：

方案① 多邊形為直角三角形（），如圖1所示，其中；

方案② 多邊形為等腰梯形（），如圖2所示，其中．

請你分別求出兩種方案中苗圃的最大面積，并從中確定使苗圃面積最大的方案．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】新能源汽車的春天來了！2018年3月5日上午，李克強總理做政府工作報告時表示，將新能源汽車車輛購置稅優惠政策再延長三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，對購置的新能源汽車免征車輛購置稅.某人計劃于2018年5月購買一輛某品牌新能源汽車，他從當地該品牌銷售網站了解了近五個月的實際銷量如下表：

月份

2017.12

2018.01

2018.02

2018.03

2018.04

月份編號

1

2

3

4

5

銷量（萬量）

0.5

0.6

1

1.4

1.7

（1）經分析，可用線性回歸模型擬合當地該品牌新能源汽車實際銷量（萬輛）與月份編號之間的相關關系.請用最小二乘法求關于的線性回歸方程，并預測2018年5月份當地該品牌新能源汽車的銷量；

（2）2018年6月12日，中央財政和地方財政將根據新能源汽車的最大續航里程（新能源汽車的最大續航里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠里程）對購車補貼進行新一輪調整.已知某地擬購買新能源汽車的消費群體十分龐大，某調研機構對其中的200名消費者的購車補貼金額的心理預期值進行了一個抽樣調查，得到如下一份頻數表：

補貼金額預期值區間（萬元）

頻數

20

60

60

30

20

10

（i）求這200位擬購買新能源汽車的消費者對補貼金額的心理預期值的方差及中位數的估計值（同一區間的預期值可用該區間的中點值代替，估計值精確到0.1）；

（ii）將頻率視為概率，現用隨機抽樣方法從該地區擬購買新能源汽車的所有消費者中隨機抽取3人，記被抽取的3人中對補貼金額的心理預期值不低于3萬元的人數為，求的分布列及數學期望.

附：①回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；②.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2020年全球爆發新冠肺炎，人感染了新冠肺炎病毒后常見的呼吸道癥狀有：發熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，嚴重時會危及生命．隨著疫情的發展，自2020年2月5日起，武漢大面積的爆發新冠肺炎，政府為了及時收治輕癥感染的群眾，逐步建立起了14家方艙醫院，其中武漢體育中心方艙醫院從2月12日開艙至3月8日閉倉，累計收治輕癥患者1056人．據部分統計該方艙醫院從2月26日至3月2日輕癥患者治愈出倉人數的頻數表與散點圖如下：

日期

2.26

2.27

2.28

2.29

3.1

3.2

序號

1

2

3

4

5

6

出倉人數

3

8

17

31

68

168

根據散點圖和表中數據，某研究人員對出倉人數與日期序號進行了擬合分析．從散點圖觀察可得，研究人員分別用兩種函數①②分析其擬合效果．其相關指數可以判斷擬合效果，R2越大擬合效果越好．已知的相關指數為．

（1）試根據相關指數判斷．上述兩類函數，哪一類函數的擬合效果更好？（注：相關系數與相關指數R2滿足，參考數據表中）

（2）①根據（1）中結論，求擬合效果更好的函數解析式；（結果保留小數點后三位）

②3月3日實際總出倉人數為216人，按①中的回歸模型計算，差距有多少人？

（附：對于一組數據，其回歸直線為

相關系數

參考數據：

3.5

49.17

15.17

3.13

894.83

19666.83

10.55

13.56

3957083

，，，．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，為邊上一點，，.

（1）證明：平面平面.

（2）若，試問：是否與平面平行？若平行，求三棱錐的體積；若不平行，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】隨著互聯網金融的不斷發展，很多互聯網公司推出余額增值服務產品和活期資金管理服務產品，如螞蟻金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財富通”，京東旗下“京東小金庫”.為了調查廣大市民理財產品的選擇情況，隨機抽取1100名使用理財產品的市民，按照使用理財產品的情況統計得到如下頻數分布表：

分組

頻數（單位：名）

使用“余額寶”

使用“財富通”

使用“京東小金庫”

40

使用其他理財產品

60

合計

1100

已知這1100名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財富通”的人多200名.

（1）求頻數分布表中，的值；

（2）已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為，“財富通”的平均年化收益率為，“京東小金庫”的平均年化收益率為，有3名市民，每個人理財的資金有10000元，且分別存入“余額寶”“財富通”“京東小金庫”，求這3名市民2018年理財的平均年化收益率；

（3）若在1100名使用理財產品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取5人，然后從這5人中隨機選取2人，求“這2人都使用‘財富通’”的概率.

注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利率，理財產品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財產品，一年可以獲得3元利息.

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