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【題目】如圖，已知直三棱柱的底面是直角三角形，．

Ⅰ求證：平面；

Ⅱ求二面角的余弦值；

Ⅲ求點到平面的距離．

【答案】Ⅰ證明見解析ⅡⅢ

【解析】

(Ⅰ)根據直三棱柱中可以為坐標原點建立空間直角坐標系,求解平面的法向量并證明即可.

(Ⅱ)分別求解ABD的一個法向量與平面的一個法向量,利用二面角的向量公式求解即可.

(Ⅲ)根據線面垂直的關系可得點到平面的距離為,再求解即可.

依題意,以C為原點,CB為x軸,為y軸,CA為z軸,建立空間直角坐標系,

則,

，,

Ⅰ證明：,

設平面的一個法向量為,則,

令,則,

,即,

平面；

Ⅱ,

設平面ABD的一個法向量為,則,

令,則,

又平面的一個法向量為,

,

即二面角的余弦值為；

Ⅲ設點到平面的距離為d,則易知,而,

點到平面的距離為．

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某農科站技術員為了解某品種樹苗的生長情況，在該批樹苗中隨機抽取一個容量為100的樣本，測量樹苗高度（單位：）．經統計，高度在區間內，將其按，，，，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中高度不低于的樹苗為優質樹苗．

附：

，其中

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）已知所抽取的這100棵樹苗來自于甲、乙兩個地區，部分數據如下列聯表所示，將列聯表補充完整，并根據列聯表判斷是否有％的把握認為優質樹苗與地區有關？

甲地區

乙地區

合計

優質樹苗

5

非優質樹苗

25

合計

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某次數學知識比賽中共有6個不同的題目，每位同學從中隨機抽取3個題目進行作答，已知這6個題目中，甲只能正確作答其中的4個，而乙正確作答每個題目的概率均為，且甲、乙兩位同學對每個題目的作答都是相互獨立、互不影響的.

（1）求甲、乙兩位同學總共正確作答3個題目的概率；

（2）若甲、乙兩位同學答對題目個數分別是，，由于甲所在班級少一名學生參賽，故甲答對一題得15分，乙答對一題得10分，求甲乙兩人得分之和的期望.

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【題目】現有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為9的圓錐和底面半徑為，高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與各自的高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個，則新的底面半徑為_________；若新圓錐的內接正三棱柱表面積取到最大值，則此正三棱柱的底面邊長為_________.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，是一個三棱錐，是圓的直徑，是圓上的點，垂直圓所在的平面，，分別是棱，的中點.

（1）求證：平面；

（2）若二面角是，，求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】四棱柱的底面是菱形,平面,點是側棱上的點

（1）證明:平面;

（2）若是的中點,求四棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點滿足方程.

（1）求點M的軌跡C的方程；

（2）作曲線C關于軸對稱的曲線，記為，在曲線C上任取一點，過點P作曲線C的切線l，若切線l與曲線交于A，B兩點，過點A，B分別作曲線的切線，證明的交點必在曲線C上.

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【題目】已知定義在上的偶函數滿足，且時，，則函數在上的所有零點之和為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）討論函數的單調性；

（Ⅲ）對于任意，，都有，求實數的取值范圍.

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