Question

【題目】現有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為9的圓錐和底面半徑為，高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與各自的高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個，則新的底面半徑為_________；若新圓錐的內接正三棱柱表面積取到最大值，則此正三棱柱的底面邊長為_________.

Answer 1

【答案】3

【解析】

先求出原來的體積和，再求出新的體積和，列出方程，即可解出新的底面半徑，設新圓錐的內接正三棱柱的底面邊長為，高為，底面正三角形的外接圓的半徑為，利用相似比用表示出，從而把正三棱柱的表面積表示成的二次函數，利用二次函數的性質即可求出三棱柱的表面積取到最大值時的值．

解：由題意可知，

底面半徑為5，高為9的圓錐和底面半徑為，高為8的圓柱的總體積為，

設新的圓錐和圓柱的底面半徑為，

則：，解得：，

設新圓錐的內接正三棱柱的底面邊長為，高為，底面正三角形的外接圓的半徑為，

，，

又，

，

正三棱柱的表面積，

當時，三棱柱的表面積取到最大值，

故答案為：3，．