Question

函數y=f（x）是奇函數，且在（0，+∞）上是單調遞增的，f（-3）=0，則不等式xf（x）＞0的解集為（ ）
A．{x|x＜-3，或0＜x＜3}
B．{x|-3＜x＜0，或x＞3}
C．{x|x＜-3，或x＞3}
D．{x|-3＜x＜0，或0＜x＜3}

Answer 1

【答案】分析：根據奇函數f（-3）=0，可得f（3）=0．然后由f（x）的奇偶性和單調性，得到xf（x）在R上各個區間內的符號，再加以綜合即可得到不等式xf（x）＞0的解集．
解答：解：∵y=f（x）是奇函數，且f（-3）=0，∴-f（3）=0，可得f（3）=0
∵y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴當x∈（0，3）時，f（x）＜f（3）=0，此時xf（x）＜0；當x∈（3，+∞）時，f（x）＞0，此時xf（x）＞0
又∵奇函數y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴y=f（x）在（-∞，0）上單調遞增，
可得：當x∈（-∞，-3）時，f（x）＜f（-3）=0，此時xf（x）＞0；當x∈（-3，0）時，f（x）＞0，此時xf（x）＜0
綜上所述，可得不等式xf（x）＞0的解集為（-∞，-3）∪（3，+∞）
故選：C
點評：本題給出函數y=f（x）的奇偶性和單調性，求不等式xf（x）＞0的解集．著重考查了函數的奇偶性、單調性與不等式的解法等知識，屬于基礎題．