Question

【題目】已知函數．

（1）若為單調函數，求a的取值范圍；

（2）若函數僅一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）對求導得，因為為單調函數，故或恒成立，利用導數研究或哪個能成立即可；
（2）因為，所以是的一個零點，由（1）可知，當時，為上的增函數，所以僅有一個零點，滿足題意，當時，得，分，，討論驗證即可．

解析：（1）由（），得

，

因為為單調函數，

所以當時，或恒成立，

由于，于是只需或對于恒成立，

令，則，

當時，，所以為增函數，

則．又當時，，

則不可能恒成立，即不可能為單調減函數．

當，即時，恒成立，

此時函數為單調遞增函數．

（2）因為，所以是的一個零點．

由（1）知，當時，為的增函數，

此時關于x的方程僅一解，即函數僅一個零點，滿足條件．

當時，由得，

（ⅰ）當時，，

則，

令，

易知為的增函數，且，

所以當時，，即，為減函數，

當時，，即，為增函數，

所以，

在上恒成立，且僅當，于是函數僅一個零點．

所以滿足條件．

（ⅱ）當時，由于在為增函數，

則，當時，．

則存在，使得，即使得，

當時，，

當時，，

所以，且當時，．

于是當時存在的另一解，不符合題意，舍去．

（ⅲ）當時，則在為增函數，

又，，

所以存在，使得，也就使得，

當時，，

當時，，

所以，且當時，．

于是在時存在的另一解，不符合題意，舍去．

綜上，a的取值范圍為或．