Question

【題目】已知拋物線：上一點到焦點的距離為4，動直線交拋物線于坐標原點O和點A，交拋物線的準線于點B，若動點P滿足，動點P的軌跡C的方程為．

（1）求出拋物線的標準方程；

（2）求動點P的軌跡方程；

（3）以下給出曲線C的四個方面的性質，請你選擇其中的三個方面進行研究：①對稱性；②范圍；③漸近線；④時，寫出由確定的函數的單調區間．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析．

【解析】

(1)根據拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離列式求解即可.

(2)求出的坐標,利用動點P滿足,求出動點P的軌跡C的方程即可.

(3)根據(2)中所得的方程直接得出結論即可.

(1)由題意,,所以

所以拋物線的標準方程為

(2)設,則與拋物線方程聯立,可得,即,與聯立,可得.因為,所以,所以,故,.

消去可得

(3)由,可得

①因為,,故關于軸對稱；

②范圍：,則.即

又當時, ,

故,即或.

故,

③因為分母為,故漸近線

④當時,因為,所以由確定的函數為,即

,

當時,單調遞減；當時,單調遞增

故在上遞減,在上遞增.

綜上所述,

①關于軸對稱

②,

③漸近線

④時,由確定的函數在上遞減,在上遞增