已知橢圓
：
的短軸長為
，且斜率為
的直線
過橢圓的焦點及點
．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線
過橢圓的左焦點
，交橢圓于點P、Q.
（�。┤魸M足
（
為坐標原點），求
的面積；
（ⅱ）若直線與兩坐標軸都不垂直，點
在
軸上，且使
為
的一條角平分線，則稱點為橢圓的“特征點”，求橢圓的特征點．
（1）
；（2）（�。�2，（ⅱ）
解析試題分析：（1）由短軸長得
，由焦點和點可算出斜率為，可以得到焦點坐標，所以可以得橢圓的方程。（2）（ⅰ）由向量的數量積公式及三角形面積公式可得出結果。（ⅱ）設直線的方程，但是不需要求的方程，通過與橢圓聯立方程組進行求解。
試題解析：（1）由題意可知，直線
的方程為
， 1分
∵直線過橢圓的焦點，∴該焦點坐標為
∴
2分
又橢圓的短軸長為，∴
，∴
3分
∴橢圓的方程為 4分
（2）（ⅰ）∵
∴
6分
∴
8分
（ⅱ）設特征點
，左焦點為
，可設直線PQ的方程為
，
由
消去得
設
，則
10分
∵為的一條角平分線，
∴
，即
12分
又
，
，代入上式可得
∴
，解得
∴橢圓C的特征點為． 14分
考點：圓錐曲線與其他知識的綜合
小博士期末闖關100分系列答案
名校名師培優作業本加核心試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
橢圓
的離心率為
，其左焦點到點
的距離為
．
(1) 求橢圓
的標準方程；
(2) 若直線
與橢圓相交于
兩點(不是左右頂點)，且以
為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線
過定點，并求出該定點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，已知拋物線
：
，在此拋物線上一點
到焦點的距離是3.
（1）求此拋物線的方程；
（2）拋物線的準線與
軸交于點，過點斜率為
的直線
與拋物線交于
、
兩點．是否存在這樣的，使得拋物線上總存在點
滿足
，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，F是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C的右焦點，直線l：x＝4是橢圓C的右準線，F到直線l的距離等于3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上動點，PM⊥l，垂足為M．是否存在點P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，兩焦點F1，F2之間的距離為2
，橢圓上第一象限內的點P滿足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為1．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若橢圓C的右頂點為A，直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點M，N，且滿足AM⊥AN．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，
為橢圓在
軸正半軸上的焦點，
、
兩點在橢圓
上，且
，定點
.
（1）求證：當
時
；
（2）若當時有
，求橢圓的方程；
（3）在（2）的橢圓中，當、兩點在橢圓上運動時，試判斷
是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時、兩點所在直線方程，若不存在，給出理由.
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的左右焦點為
，上頂點為
，點
關于
對稱，且
的離心率；
是過
三點的圓上的點，若
的面積為
，求點
距離的最大值。
過點
，且離心率為
.斜率為
的直線
與橢圓
交于
兩點，以
為底邊作等腰三角形，頂點為
.
的面積．
的離心率為
，若直線
與其一個交點的橫坐標為
，則
的值為