Question

設f(x)＝x³＋ax²＋bx＋1的導數f′(x)滿足f′(1)＝
2a，f′(2)＝－b，其中a，b∈R.
①求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；②設g(x)＝f′(x)e^－x，求g(x)的極值．

Answer 1

①6x＋2y－1＝0. ②極小值g(0)＝－3；極大值g(3)＝15e^－3

①f′(x)＝3x²＋2ax＋b.
∵f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，
∴3＋2a＋b＝2a,12＋4a＋b＝－b.∴a＝－，b＝－3.
∴f(x)＝x³－x²－3x＋1.從而f(1)＝－.又f′(1)＝2a＝－3，
∴f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＋＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
②g(x)＝(3x²－3x－3)e^－x，
∴g′(x)＝(6x－3)e^－x－
e^－x(3x²－3x－3)＝(－3x²＋9x)e^－x.
令g′(x)＝0得x＝0或x＝3.
當x∈(－∞，0)時，g′(x)<0；
當x∈(0,3)時，g′(x)>0；
當x∈(3，＋∞)時，g′(x)<0.
∴g(x)在(－∞，0)上是減函數，在(0,3)上是增函數，在(3，＋∞)上是減函數．
當x＝0時，g(x)取得極小值g(0)＝－3；當x＝3時，g(x)取得極大值g(3)＝15e^－3