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【題目】已知橢圓：的離心率為，其左焦點與拋物線的焦點重合.

（1）求橢圓的方程；

（2）過動點的直線交軸于點，交橢圓于點，在第一象限，，過點做軸的垂線交橢圓于點，連接并延長交橢圓于另一點.設直線的斜率分別為，證明：為定值.

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）先由拋物線方程求得拋物線的焦點，可得c=1，再由橢圓的離心率可求得a，再由a，b，c的關系可以求出b，然后得到橢圓的方程.

（2）由直線過x軸上定點，所以設出直線的橫截式方程，先計算B點坐標，又因為，所以根據線段的比例關系可以得到A的坐標，再由對稱關系得到D點坐標，由兩點式計算直線DT的斜率，然后求比值.

（1）由題意可知題意的左焦點為，因為離心率為，

所以，

所以題意的方程為.

（2）設直線的方程為，（），則

，可求得；

因為，

所以，且，

所以，

所以為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某蛋糕店制作并銷售一款蛋糕，當天每售出個利潤為元，未售出的每個虧損元.根據以往天的統計資料，得到如下需求量表，元旦這天，此蛋糕店制作了個這種蛋糕.以（單位：個， ）表示這天的市場需求量. （單位：元）表示這天售出該蛋糕的利潤.

需求量/個

天數

10

20

30

25

15

（1）將表示為的函數，根據上表，求利潤不少于元的概率；

（2）估計這天的平均需求量（同一組數據用該區間的中點值作代表）；

（3）元旦這天，該店通過微信展示打分的方式隨機抽取了名市民進行問卷調查，調查結果如下表所示，已知在購買意愿強的市民中，女性的占比為.

購買意愿強

購買意愿弱

合計

女性

28

男性

22

合計

28

22

50

完善上表，并根據上表，判斷是否有的把握認為市民是否購買這種蛋糕與性別有關？

附： .

0.05

0.025

0.010

0.005

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC＝2，BC⊥DC，∠BAD＝60°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點，△PAD為正三角形，M是棱PC上的一點(異于端點)．

(1)若M為PC的中點，求證：PA∥平面BME；

(2)是否存在點M，使二面角MBED的大小為30°.若存在，求出點M的位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f (x)＝ln x＋x2－ax(a為常數).

(1)若x＝1是函數f (x)的一個極值點，求a的值；

(2)當0＜a≤2時，試判斷f (x)的單調性；

(3)若對任意的a∈(1，2)，x0∈[1，2]，不等式f (x0)＞mln a 恒成立，求實數m的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2019年某開發區一家汽車生產企業計劃引進一批新能源汽車制造設備，通過市場分析，全年需投入固定成本3000萬元，每生產x（百輛），需另投入成本萬元，且，由市場調研知，每輛車售價6萬元，且全年內生產的車輛當年能全部銷售完.

（1）求出2019年的利潤（萬元）關于年產量x（百輛）的函數關系式；（利潤=銷售額成本）

（2）2019年產量為多少（百輛）時，企業所獲利潤最大？并求出最大利潤.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）判斷并證明的奇偶性；

（2）用單調性的定義證明函數在其定義域上是增函數；

（3）若，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），將曲線上各點的橫坐標都縮短為原來的倍，縱坐標坐標都伸長為原來的倍，得到曲線，在極坐標系（與直角坐標系取相同的單位長度，且以原點為極點，以軸非負半軸為極軸）中，直線的極坐標方程為．

（1）求直線和曲線的直角坐標方程；

（2）設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，平面，.過的中點作于點，連接，.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，求的長.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，命題方程表示焦點在軸上的橢圓，命題方程表示雙曲線.

（1）若命題是真命題，求實數的范圍；

（2）若命題“或”為真命題，“且”是假命題，求實數的范圍.

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