Question

【題目】設函數f（x）=lnx，g（x）=ax+ ﹣3（a∈R）．
（1）當a=2時，解關于x的方程g（ex）=0（其中e為自然對數的底數）；
（2）求函數φ（x）=f（x）+g（x）的單調增區間；
（3）當a=1時，記h（x）=f（x）g（x），是否存在整數λ，使得關于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，請求出λ的最小值；若不存在，請說明理由．（參考數據：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時，g（x）=0，可得x= 或1，

g（ex）=0，可得ex= 或ex=1，

∴x=﹣ln2或0；

（2）解：φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+ ﹣3，φ′（x）=

①a=0，φ′（x）= ＞0，函數的單調遞增區間是（0，+∞）；

②a=1，φ′（x）= x＞0，函數的單調遞增區間是（0，+∞）；

③0＜a＜1，x= ＜0，函數的單調遞增區間是（0，+∞）；

④a＞1，x= ＞0，函數的單調遞增區間是（ ，+∞）；

⑤a＜0，x= ＞0，函數的單調遞增區間是（0， ）

（3）解：a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣ +1，

h″（x）= + ＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上單調遞增，

∴存在x0，h′（x0）=0，即lnx0=﹣1+ ，

h（x）在（0，x0）上單調遞減，（x0，+∞）上單調遞增，

∴h（x）min=h（x0）=﹣（x0+ ）+6，

∵h′（1）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（1，2），

∴h（x）不存在最小值，

∴不存在整數λ，使得關于x的不等式2λ≥h（x）有解

【解析】（1）當a=2時，求出g（x）=0的解，即可解關于x的方程g（ex）=0（其中e為自然對數的底數）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+ ﹣3，φ′（x）= ，分類討論，利用導數的正負，求函數φ（x）=f（x）+g（x）的單調增區間；（3）判斷h（x）不存在最小值，即可得出結論．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．