Question

【題目】已知橢圓C： 的右焦點為F（1，0），且點（﹣1， ）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知動直線l過點F，且與橢圓C交于A，B兩點，試問x軸上是否存在定點Q，使得 恒成立？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，c=1

∵點（﹣1， ）在橢圓C上，∴根據橢圓的定義可得：2a= ，∴a=

∴b2=a2﹣c2=1，

∴橢圓C的標準方程為

（2）解：假設x軸上存在點Q（m，0），使得 恒成立

當直線l的斜率為0時，A（ ，0），B（﹣ ，0），則 =﹣ ，∴ ，∴m= ①

當直線l的斜率不存在時， ， ，則 =﹣ ，

∴

∴m= 或m= ②

由①②可得m= ．

下面證明m= 時， 恒成立

當直線l的斜率為0時，結論成立；

當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）

直線方程代入橢圓方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣

∴ =（x1﹣ ，y1）（x2﹣ ，y2）=（ty1﹣ ）（ty2﹣ ）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣ t（y1+y2）+ = + =﹣

綜上，x軸上存在點Q（ ，0），使得 恒成立

【解析】（1）利用橢圓的定義求出a的值，進而可求b的值，即可得到橢圓的標準方程；（2）先利用特殊位置，猜想點Q的坐標，再證明一般性也成立即可．