Question

（1）設a，b∈R⁺，求證：

a2+b2 2

≥

a+b

2

；
（2）求證：

6

+

7

＞2

2

+

5

．

Answer 1

分析：（1）欲證明：“

a2+b2 2

≥

a+b

2

”，即要證明不等式：“

a2+b2

2

≥(

a+b

2

)2”利用分析法證明即可．
（2）要證不等式成立，利用分析法的證明步驟證明．故只要證42＞40成立，從而得到要證的不等式成立．

解答：證明：（1）因為a＞0，b＞0，要證明

a2+b2 2

≥

a+b

2

，
當且僅當a=b時取等號，就是證明

a2+b2

2

≥(

a+b

2

)2，即證明2a²+2b²≥a²+b²+2ab，
也就是證明a²+b²≥2ab，當且僅當a=b時取等號．
這是重要不等式，顯然成立．
所以a，b∈R⁺：

a2+b2 2

≥

a+b

2

成立．
證明：要證

6

+

7

＞2

2

+

5

，只要證6+2

42

+7＞5+2

40

+8，即證

42

＞

40

．
只要證42＞40，而42＞40 顯然成立，故

6

+

7

＞2

2

+

5

成立．

點評：本題主要考查了不等式的證明方法，主要方法有：作差法，分析法，綜合法都可，考查分析法的證明方法的應用．用分析法證明不等式，把證明不等式轉化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經具備為止．