Question

已知函數.
（1）若函數在區間上有極值，求實數的取值范圍；
（2）若關于的方程有實數解，求實數的取值范圍；
（3）當，時，求證：.

Answer 1

(1) 
(2) 
(3)根據數列的求和來放縮法得到不等式的證明關鍵是對于的運用。

試題分析：解：（1），   
當時，；當時，；
函數在區間（0，1）上為增函數；在區間為減函數   3分
當時，函數取得極大值，而函數在區間有極值.
，解得.        5分
（2）由（1）得的極大值為，令，所以當時，函數取得最小值，又因為方程有實數解，那么，即，所以實數的取值范圍是：.            10分
（另解：，，
令，所以，當時，
當時，；當時，
當時，函數取得極大值為
當方程有實數解時，.）
（3）函數在區間為減函數，而，
，即                     
   12分
即，
而，結論成立.    16分
點評：根據導數的符號判定函數的單調性，是解決該試題的關鍵，同時能結合函數與方程的思想求解方程的根，屬于中檔題。