Question

22.已知函數，設曲線在點處的切線與x軸的交點為，其中為正實數.

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）若，記，證明數列成等比數列，并求數列的通項公式；

（Ⅲ）若，，是數列的前項和，證明：

Answer 1

本題綜合考察數列、函數、不等式、導數應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力。

解：（Ⅰ）由題可得

所以過曲線上點的切線方程為，

即

令，得，即

顯然 ∴

（Ⅱ）由，知，同理，

故

從而，即

所以，數列成等比數列，故，

即，從而

所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

∴

∴

當時，顯然

當時，，

∴

綜上，