Question

【題目】已知函數f（x）=2lnx+x2﹣2ax（a＞0）． （I）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2），且f（x1）﹣f（x2）≥ ﹣2ln2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）= ，令x2﹣ax+1=0，則△=a2﹣4，

①0＜a≤2時，△≤0，f′（x）≥0恒成立，

函數f（x）在（0，+∞）遞增；

②a＞2時，△＞0，方程x2﹣ax+1=0有兩根

x1= ，x2= ，且0＜x1＜x2，

函數f（x）在（0，x1）上f′（x）＞0，

在（x1，x2）上，f′（x）＜0，在（x2，+∞）上，f′（x）＞0，

故函數f（x）在（0， ）遞增，在（ ， ）遞減，在（ ，+∞）遞增；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在（x1，x2）上遞減，x1+x2=a，x1x2=1，

則f（x1）﹣f（x2）=2ln +（x1﹣x2）（x1+x2﹣2a）=2ln + ﹣ ，

令t= ，則0＜t＜1，f（x1）﹣f（x2）=2lnt+ ﹣t，

令g（t）=2lnt+ ﹣t，則g′（t）=﹣ ＜0，

故g（t）在（0，1）遞減且g（ ）= ﹣2ln2，

故g（t）=f（x1）﹣f（x2）≥ ﹣2ln2=g（ ），即0＜t≤ ，

而a2= = + +2=t+ +2，其中0＜t≤ ，

∵（t+ +2）′=1﹣ ≤0在t∈（0， ]恒成立，

故a2=t+ +2在（0， ]遞減，

從而a的范圍是a2≥ ，

故a≥

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）得到x1+x2=a，x1x2=1，則f（x1）﹣f（x2）=2ln +（x1﹣x2）（x1+x2﹣2a）=2ln + ﹣ ，令t= ，則0＜t＜1，f（x1）﹣f（x2）=2lnt+ ﹣t，令g（t）=2lnt+ ﹣t，根據函數的單調性求出a的范圍即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．