Question

【題目】如圖，已知三棱錐中，平面平面ABC，，，BD=3，AD=1，AC=BC，M為線段AB的中點.

（Ⅰ）求證：平面ACD；

（Ⅱ）求異面直線MD與BC所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直線MD與平面ACD所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由題意結合幾何關系可得，結合，和線面垂直的判定定理即可證得題中的結論；

（Ⅱ）取AC中點N，連接MN，DN，易知（或其補角）為異面直線MD與BC所成的角，據此結合幾何性質可得異面直線MD與BC所成角的余弦值.

（Ⅲ）結合（Ⅱ）可知為直線MD與平面ACD所成的角，據此可得線面角的余弦值.

（Ⅰ）∵平面平面ABC于AB，，平面ABD，

∴平面ABC，

∴，又，，

∴平面ACD.

（Ⅱ）取AC中點N，連接MN，DN，

∵M是AB中點，

∴，

∴（或其補角）為異面直線MD與BC所成的角，

由（Ⅰ）知平面ACD，

∴平面ACD，，

在中，，，

∴，

即異面直線MD與BC所成角的余弦值為.

（Ⅲ）由（Ⅱ）為直線MD與平面ACD所成的角，在中，，

∴.