Question

【題目】如圖，點是橢圓的一個頂點，的長軸是圓的直徑，、是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點，交橢圓于另一點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求面積的最大值及取得最大值時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；當直線的方程為時，的面積取最大值.

【解析】

試題（1）首先根據題中條件求出和的值，進而求出橢圓的方程；（2）先設直線的方程為，先利用弦心距、半徑長以及弦長之間滿足的關系（勾股定理）求出直線截圓所得的弦長

，然后根據直線與兩者所滿足的垂直關系設直線，將直線的方程與橢圓的方程聯立，求出直線截橢圓的弦長，然后求出的面積的表達式，并利用基本不等式求出的面積的最大值，并求出此時直線的方程.

試題解析：（1）由題意得，

橢圓的方程為；

（2）設、、，

由題意知直線的斜率存在，不妨設其為，則直線的方程為，

故點到直線的距離為，又圓，

，

又，直線的方程為，

由，消去，整理得，

故，代入的方程得

，

設的面積為，則

，

，

當且僅當，即時上式取等號，

當時，的面積取得最大值，

此時直線的方程為