Question

【題目】給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為．

（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；

（2）點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過點作直線，使得與橢圓都只有一個交點．求證：⊥.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)由題意分別確定a,b,c的值即可求得橢圓方程和準圓方程；

(2)分類討論直線的斜率存在和直線斜率不存在兩種情況即可證得題中的結論.

（1）因為，所以

所以橢圓的方程為， 準圓的方程為.

（2）①當中有一條無斜率時，不妨設無斜率，

因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，

當方程為時，此時與準圓交于點

此時經過點（或且與橢圓只有一個公共點的直線是：(或，

即為(或，顯然直線垂直；

同理可證方程為時，直線垂直.

②當都有斜率時，設點其中，

設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為，

則，消去得到，

即，

，

經過化簡得到：，

因為，所以有，

設的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直.