Question

【題目】已知函數．

（1）若是函數的一個極值點，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）證明：（為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1），檢驗。

（2）將恒成立轉換為最值問題，求最小值大于等于0，根據函數的單調性，通過討論a的范圍求出a的具體范圍。

（3）等價變形為利用函數的單調性說明。

（1）因為，所以，

因為是函數的一個極值點，故，即，當時，當經驗得是函數的一個極值點，所以.

（2）因為在上恒成立，所以。

當時，在上恒成立，即在上為增函數

所以成立，即為所求。

當時，令，則，令則

即在上為減函數，在上為增函數。當時，，這與矛盾.綜上所述，的取值范圍是。

（3）要證，只需證。兩邊取自然對數得，，上式等價于，只需要證明，只需要證明，由時，在單調遞增。

又，，，從而原命題成立.