Question

【題目】已知橢圓 （a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，直線AF2與橢圓的另一個交點為C，若△ABF2的面積是△BCF2的面積的2倍，則橢圓的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設橢圓的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F2（c，0），
由x=﹣c，代入橢圓方程可得y=± ，
可設A（﹣c， ），C（x，y），
由△ABF2的面積是△BCF2的面積的2倍，
可得 =2 ，
即有（2c，﹣ ）=2（x﹣c，y），
即2c=2x﹣2c，﹣ =2y，
可得x=2c，y=﹣ ，
代入橢圓方程可得， + =1，
由e= ，b2=a2﹣c2 ，
即有4e2+ ﹣ e2=1，
解得e= ．
故選：A．
設橢圓的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F2（c，0），設x=﹣c，代入橢圓方程，求得A的坐標，設出C（x，y），由△ABF2的面積是△BCF2的面積的2倍，可得 =2 ，運用向量的坐標運算可得x，y，代入橢圓方程，運用離心率公式，解方程即可得到所求值．