Question

【題目】已知拋物線上一點的縱坐標為4，且點到焦點的距離為5.

（1）求拋物線的方程；

（2）設斜率為的兩條平行直線分別經過點和，如圖. 與拋物線交于兩點， 與拋 物線交兩點.問：是否存在實數，使得四邊形的面積為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：

（1）由拋物線定義知，點到拋物線的準線的距離為5，據此計算可得，則拋物線的方程為.

（2）設直線的方程為： .聯立直線方程與拋物線方程有，結合弦長公式可得.同理可得，利用平行線直接距離公式可得四邊形的高為，結合面積公式可得關于斜率的方程求解方程可得滿足條件的的值為.

試題解析：

（1）由拋物線定義知，點到拋物線的準線的距離為5.

∵拋物線的準線為，∴，

解得，∴拋物線的方程為.

（2）由已知得，直線.

由 消去得，

這時， 恒成立， .

同理，直線，由 消去得，

由得， ，

又∵直線間的距離，

則四邊形的面積.

解方程得， 有唯一實數解2 (滿足大于1)，

∴滿足條件的的值為.