Question

【題目】已知函數， .

（1）證明： ；

（2）根據（1）證明： .

（B）已知函數， .

（1）用分析法證明： ；

（2）證明： .

Answer 1

【答案】（A）（1）詳見解析;（2）詳見解析. （B）（1）詳見解析;（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（A）（1）要證原不等式成立，先將函數的表達式代入原不等式，兩邊乘以，可以得到一個顯然成立的結論，由此證得原不等式成立.（2）利用（1）的結論，將（1）右邊的二次函數配方，求出其最小值，由此可證得，而，綜上所述， .（B）（1）（1）要證原不等式成立，先將函數的表達式代入原不等式，兩邊乘以，可以得到一個顯然成立的結論，由此證得原不等式成立.（2）由于時，有，所以，令，利用導數求得的最大值為，由此證得.

試題解析：

（A）解（1）由有，

要證，

只需證，

只需證，

只需證，因為成立，所以成立.

（2）因為，當且僅當時取等號，

又，

所以由（1）得.

（B）解（1）由有，

要證，

只需證，

只需證，

只需證，因為成立，所以成立.

（2）證法1 由得，

則，

設， ，

則，

則在上為增函數，

則，

所以.

證法2 由有，

設， ，則，設，

則，

∵，∴，則在時為增函數，

又， ，

∴存在，使得，即，

∴時， 為減函數， 時， ， 為增函數，

由， 有時， 有最大值0，即成立.

則成立.