Question

定義在R上的函數，對任意x₁，x₂∈R，都有，則稱函數f（x）是R上的凸函數．已知二次函數f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（1）求證：當a＜0時，函數f（x）是凸函數；
（2）對任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：
=
=，
又a＜0，故，
所以當a＜0時，函數f（x）是凸函數，命題得證．----------
（2）解：∵對任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立．
∴在（0，1]上恒成立，
即=2則a≥-2，------
又a≠0，故a≥-2且a≠0．----------
分析：（1）利用作差法證明，即要證：，只要證：；
（2）首先根據自變量的范圍進行分離常數，然后問題就轉化為函數求最值的問題，從而求出實數a的取值范圍．
點評：本題主要考查了凸函數的證明，以及函數恒成立問題和二次函數的最值，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．