Question

已知a∈R且a≠1，求函數f(x)=

ax+1

x+1

在[1，4]上的最值．

Answer 1

分析：先利用定義判斷函數的單調性，然后根據單調性求函數的最值．

解答：解：任取x₁，x₂∈[1，4]，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

ax1+1

x1+1

-

ax2+1

x2+1

=

(x1-x2)(a-1)

(x1+1)(x2+1)

，
∵x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，又a∈R且a≠1，
所以，當a＞1時，a-1＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
函數f（x）在[1，4]上是增函數，
最大值為f(4)=

4a+1

5

，最小值為f(1)=

a+1

2

．
當a＜1時，a-1＜0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
函數f（x）在[1，4]上是減函數，
最大值為f(1)=

a+1

2

，最小值為f(4)=

4a+1

5

．

點評：本題考查函數的單調性及其應用，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力．