Question

【題目】已知動直線與焦點坐標為，離心率為的曲線相交于兩點（為曲線的坐標原點），且.

（1）求曲線的標準方程；

（2）證明：和都為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

（1）由題意布列關于基本量的方程組，即可得到曲線的標準方程；（2）對直線的斜率分類討論，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，代入，得

，結合韋達定理即可得到結果.

解：（1）∵曲線的離心率為，∴該曲線為橢圓，

∵曲線的焦點坐標為，，

∴，，∴

∴曲線的標準方程為

（2）①當直線的斜率不存在時，當關于軸對稱，

設，得，，在橢圓上，得，

又∵，得

聯立與，可得

∴，同理可得：

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，代入，得

，

∵，且直線與曲線有兩個交點，

∴由根與系數關系的，，

∴

因為到直線的距離，，

∴

令，即有，可推出，得

即，此時

,

綜上所述，，