Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，，，，為的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）作出相關輔助線，利用中位線定理，即可求解。

（Ⅱ）建立適當的空間直角坐標系，利用向量的數量積即可求出二面角。

（Ⅰ）證明：取的中點，連接.連接，交于點，連接交于點，連接.因為為的中點，是的中點，所以.又，所以為的中點，所以為的中點，又為的中點，所以.

因為平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）因為，，由余弦定理得，

，

所以.所以.因為平面，，

所以以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

設平面的法向量為，則即

令，得，所以.

因為平面的法向量為，

所以，

所以二面角的大小為.