Question

【題目】已知函數，為實數）有極值，且在處的切線與直線平行.

（1）求實數的取值范圍；

（2）是否存在實數，使得函數的極小值為1，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由；

（3）設函數 試證明：在上恒成立并證明

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）根據極值的信息，則選用導數法，先求，再由有極值，可有，又由在處的切線與直線平行，可得從而求解．

（2）存在．令得到函數的兩個極值點，然后分區間討論函數的增減性，得到函數的極小值令其等于1，討論得到的值存在，求出即可；

（3）求得，利用導數工具在上是增函數，故，設，

則

，即，再利用累加法進行證明即可．

（1），

由題意，①

有極值，有兩個不等實根，

②

由①、②可得，或，

故實數a的取值范圍是

（2）存在由（1）可知，，令

，且

	+	0	－	0	+
	單調增	極大值	單調減	極小值	單調增

時，取極小值，則

或，若，即，則（舍）。

若，又，

，

存在實數，使得函數的極小值為1.

（3）由

故

則在上是增函數，故，所以在上恒為正。

當時，，設，則

即

上式分別取的值為1、2、3、……、（累加得：

，（）

，（）

，（）

，（）

即，，（），

當時，，