Question

【題目】已知函數.

（1）若，證明：曲線在處的切線與直線垂直；

（2）若，當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）先求導數，可得切線的斜率，根據斜率關系可得垂直；

（2）把不等式轉化為，然后構造函數確定最值進行求解.

（1）依題意，，故；

則，而直線的斜率為，故兩條直線的斜率之積為；

即曲線在處的切線與直線垂直.

（2）要證，即證，即證；

當時，令，

求導可知在上單調遞增，在上單調遞減，令；

當時，，所以；

當時，函數單調遞減，所以其最小值為，

最大值為，所以下面判斷與的大小，即判斷與的大小，

其中，令，，令，

則；因為，所以，單調遞增；

因為，，

故存在，使得，

所以在上單調遞減，在單調遞增，

所以，

所以時，；即，也即，

綜上所述，.