Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓過以下4個不同的點：.

（1）求圓的標準方程；

（2）先將圓向左平移個單位后，再將所有點的橫坐標、縱坐標都伸長到原來的倍得到圓，若兩個點分別在直線和上，為圓上任意一點，且（為常數），證明直線過圓的圓心，并求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析，的值為

【解析】

（1）必在線段的中垂線上，可設圓的標準方程為，代入待定系數即可得解.

（2）通過平移伸縮可得圓：，設，可得：

，代入

，由的任意性可得解.

（1）由已知，在圓上得，必在線段的中垂線上，故可設圓的標準方程為

再將的坐標代入方程得

聯立解得，，所以圓方程為

經檢驗得，的坐標也滿足，

所以圓的標準方程為

（2）將圓向左平移個單位后得到曲線

再將所有點的橫坐標、縱坐標都伸長到原來的倍得到的圓的方程為

設，則

因為，所以，且

所以

化簡得，

把代入上式得，

因為是圓上任意一點，所以

解得，或

所以或

所以直線的方程為或

即直線過圓的圓心，常數的值為