Question

已知函數y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數，其圖象關于M(

3π

4

，0)對稱，且在區間[0，

π

2

]上是單調函數，則滿足條件的實數對（ω，φ）有（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：由f（x）是偶函數可得?的值，圖象關于點M(

3π

4

，0) 對稱可得函數關系 f(

3π

4

-x)=-f(

3π

4

+x)，進而可得ω的可能取值，結合單調函數可確定ω的值．

解答：解：由f（x）是偶函數，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+∅）=sin（ωx+∅），
所以-cos∅sinωx=cos∅sinωx，對任意x都成立，且ω＞0，
所以得cos∅=0．
依題設0≤∅≤π，所以解得∅=

π

2

．
所以函數y=sin（ωx+

π

2

）．
由f（x）的圖象關于點M對稱，可得f(

3π

4

-x)=-f(

3π

4

+x)，
取x=0，可得f（

3π

4

）=sin（

3ωπ

4

+

π

2

）=cos

3ωπ

4

=0，
又因為ω＞0，
所以

3wπ

4

=

π

2

+kπ，k=1，2，3，
所以ω=

2

3

（2k+1），k=0，1，2，
當k=0時，ω=

2

3

，則f（x）=sin（

2

3

x+

π

2

）在區間[0，

π

2

]上是單調減函數，
當k=1時，ω=2，則f（x）=sin（2x+

π

2

）在區間[0，

π

2

]上是單調減函數，
當k≥2時，f（x）=sin（ωx+

π

2

）在區間[0，

π

2

]上不是單調函數，
所以ω=

2

3

或者ω=2．
故選B．

點評：本題主要考查三角函數的圖象、單調性、奇偶性等基本知識，以及分析問題和推理計算能力．