Question

已知，
（Ⅰ）若函數h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區間，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=-1時，求證：x≤e^g（x）-2在成立
（Ⅲ）求f（x）-x的最大值，并證明當n＞2，n∈N^*時，（e為自然對數lnx的底數）

Answer 1

（Ⅰ）解：函數
所以在（0，+∞）上有解，
即ax²+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，由ax²+3x-1＞0得
因為當x＞0，
所以a的范圍是…（4分）
（Ⅱ）證明：原不等式即為f（x）＜g（x）-2，構造函數φ（x）=f（x）-g（x）+2
∴∴，
∴對于恒成立，
∴φ（x）單調遞增
∴=
∴f（x）＜g（x）-2
∴x≤e^g（x）-2在成立，原不等式得證 …（9分）
（Ⅲ）解：∵，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，
∴
所以函數m（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
所以m（x）≤m（1），即f（x）-x的最大值為-1
證明：由m（x）≤m（1）得lnx≤-1+x
∴，
∴=…（14分）
分析：（Ⅰ）函數，函數h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區間，等價于在（0，+∞）上有解，即ax²+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，再利用分離參數法，即可求得a的范圍；
（Ⅱ）原不等式即為f（x）＜g（x）-2，構造函數φ（x）=f（x）-g（x）+2，可確定φ（x）單調遞增，從而原不等式得證；
（Ⅲ）根據，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，利用導數可知函數m（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，從而可得f（x）-x的最大值為-1，進而可得lnx≤-1+x，再利用放縮法即可證得．
點評：本題重點考查導數知識的運用，考查利用導數研究函數的單調性，證明不等式，考查放縮法的運用，綜合性比較強．