Question

【題目】已知函數．

（1）若關于x的方程在區間上有兩個不同的解，．

①求a的取值范圍；

②若，求的取值范圍；

（2）設函數在區間上的最小值，求的表達式．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）

【解析】

（1）①求得的分段函數作出函數的圖象，求出最值，即可得到所求的范圍；②由①消去，可得；（2）求得，對討論，當時，當時，當時，當時，當時，討論單調性，可得，即可得到所求的解析式.

解：（1）①因為，即，

則，
作出函數的圖象如圖，

的最小值為1，當時，有最大值，
又因為關于的方程在區間有兩個不同的解，，
故的取值范圍是；
②因為，所以，，且有，

即有；
（2）由題得，
當時，有，則在[0，2]上為減函數，
則；
當時，有，在上為減函數，在上為增函數，
此時；
當時，有，在上為減函數，在上為增函數，
此時，
當時，有，在上為增函數，在上為減函數，在上為增函數，
此時，
當時，有，則在上為增函數，
則，

綜上.