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已知,函數
(1)求的極小值;
(2)若上為單調增函數,求的取值范圍;
(3)設,若在是自然對數的底數)上至少存在一個,使得成立,求的取值范圍.

(1).(2) 的取值范圍是
(3)要在上存在一個,使得,必須且只需

解析試題分析:(1)由題意,,,∴當時,;當時,,所以,上是減函數,在上是增函數,故.  4分
(2) ,,由于內為單調增函數,所以上恒成立,即上恒成立,故,所以的取值范圍是. 9分
(3)構造函數
時,由得,,所以在上不存在一個,使得
時,,因為,所以,所以上恒成立,故上單調遞增,,所以要在上存在一個,使得,必須且只需,解得,故的取值范圍是
另法:(Ⅲ)當時,
時,由,得 , 令,則,所以上遞減,
綜上,要在上存在一個,使得,必須且只需
考點:本題主要考查應用導數研究函數的單調性、最值及不等式恒成立問題。
點評:難題,本題屬于導數應用中的基本問題,通過研究函數的單調性,明確了極值情況。通過研究函數的單調區間、極值,最終確定最值情況。涉及恒成立問題,往往通過構造函數,研究函數的最值,得到解題目的。

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知函數
(1)若是偶函數,在定義域上恒成立,求實數的取值范圍;
(2)當時,令,問是否存在實數,使上是減函數,在上是增函數?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知函數在區間上的值域為
(1)求的值;
(2)若關于的函數在區間上為單調函數,求實數的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知.
(1)時,求的極值;
(2)當時,討論的單調性;
(3)證明:,,其中無理數

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知,當時,恒有
的解析式;
的解集為空集,求的范圍。

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

(1)已知,求證:;
(2)已知,>0(i=1,2,3,…,3n),求證:
+++…+

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知函數
①當時,求函數在上的最大值和最小值;
②討論函數的單調性;
③若函數處取得極值,不等式恒成立,求實數的取值范圍。

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知函數
(1)若為定義域上的單調函數,求實數m的取值范圍;
(2)當m=-1時,求函數的最大值;
(3)當時,證明:

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

證明函數f(x)=x+在(0,1)上是減函數.

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