已知,函數
(1)求的極小值;
(2)若在
上為單調增函數,求
的取值范圍;
(3)設,若在
(
是自然對數的底數)上至少存在一個
,使得
成立,求
的取值范圍.
(1).(2)
的取值范圍是
.
(3)要在上存在一個
,使得
,必須且只需
.
解析試題分析:(1)由題意,,
,∴當
時,
;當
時,
,所以,
在
上是減函數,在
上是增函數,故
. 4分
(2) ,
,由于
在
內為單調增函數,所以
在
上恒成立,即
在
上恒成立,故
,所以
的取值范圍是
. 9分
(3)構造函數,
當時,由
得,
,
,所以在
上不存在一個
,使得
.
當時,
,因為
,所以
,
,所以
在
上恒成立,故
在
上單調遞增,
,所以要在
上存在一個
,使得
,必須且只需
,解得
,故
的取值范圍是
.
另法:(Ⅲ)當時,
.
當時,由
,得
, 令
,則
,所以
在
上遞減,
.
綜上,要在上存在一個
,使得
,必須且只需
.
考點:本題主要考查應用導數研究函數的單調性、最值及不等式恒成立問題。
點評:難題,本題屬于導數應用中的基本問題,通過研究函數的單調性,明確了極值情況。通過研究函數的單調區間、極值,最終確定最值情況。涉及恒成立問題,往往通過構造函數,研究函數的最值,得到解題目的。
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數.
(1)若是偶函數,在定義域上
恒成立,求實數
的取值范圍;
(2)當時,令
,問是否存在實數
,使
在
上是減函數,在
上是增函數?如果存在,求出
的值;如果不存在,請說明理由.
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