【題目】已知點
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸上，點
在直線
上，且滿足
（Ⅰ）當點
在
軸上移動時，求點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）過點
做直線
與軌跡
交于
兩點，若在
軸上存在一點
，使得
是以點
為直角頂點的直角三角形，求直線
的斜率
的取值范圍.
【答案】（1）
;（2）
.
【解析】試題分析：（Ⅰ）本問考查求軌跡方程，設動點
，由于點
在
軸上，點
在
軸的正半軸上，于是可以根據條件
表示出
，再根據
，坐標表示后整理可求出N點的軌跡方程，注意曲線上點坐標的取值范圍；（Ⅱ）本問考查直線與拋物線位置關系，由題分析，直線
的斜率顯然存在且不為0，于是可設
方程為
，與曲線C的方程聯立，消去未知數x，得到關于y的一元二次方程，設
，于是得出
， 
，根據弦長公式求出
，若在
軸上存在一點
，使得
是以為直角頂點的直角三角形，則點
到
軸的距離不大于
，轉化為關于
的不等式，可以求出取值范圍.
試題解析:（Ⅰ）設點
,由
,得
,
由
得
，所以
又因為點
在
軸的正半軸上，所以
,所以
（Ⅱ）設直線
得直線
的方程代入
,得
，①
又
是方程①的兩個不相等的實根，
由
，解得
②
線段
的中點
的坐標為
在
軸上存在一點
，使得
是以為直角頂點的直角三角形，
點
到
軸的距離不大于
，即
化簡，得
，解得
結合②得直線
的斜率的取值范圍為
.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】根據某電子商務平臺的調查統計顯示，參與調查的1000位上網購物者的年齡情況如圖．
（1）已知
、
，
三個年齡段的上網購物者人數成等差數列，求
，
的值；
（2）該電子商務平臺將年齡在
之間的人群定義為高消費人群，其他的年齡段定義為潛在消費人群，為了鼓勵潛在消費人群的消費，該平臺決定發放代金券，高消費人群每人發放50元的代金券，潛在消費人群每人發放80元的代金券，已經采用分層抽樣的方式從參與調查的1000位上網購物者中抽取了10人，現在要在這10人中隨機抽取3人進行回訪，求此三人獲得代金券總和
的分布列與數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知向量 
， 
,函數
的圖象過點
，點
與其相鄰的最高點的距離為
.
（1）求
的單調遞增區間；
（2）計算
；
（3）設函數
，試討論函數
在區間
上的零點個數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
，函數
，
（
為自然對數的底數），且函數
的圖象與函數
的圖象在
處有公共的切線.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）討論函數
的單調性；
（Ⅲ）證明：當
時，
在區間
內恒成立.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，已知曲線
，以平面直角坐標系的原點
為極點，
軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線
．
（1）將曲線
上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的
倍后得到曲線
．試寫出直線
的直角坐標方程和曲線
的參數方程：
（2）在曲線上求一點
，使點到直線
的距離最大，并求出此最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班50名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組：第一組
，第二組
，…，第五組
，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（1）根據頻率分布直方圖，估計這50名學生百米測試成績的平均值；
（2）若從第一組、第五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，橢圓
和拋物線
交于
兩點，且直線
恰好通過橢圓
的右焦點．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）經過橢圓右焦點的直線
和橢圓交于
兩點，點
在橢圓上，且
，
其中
為坐標原點，求直線
的斜率．
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