Question

【題目】已知函數

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間即可；

（2）根據（1）的單調性的討論，分析函數極值的正負，以及極限的思想，確定零點的個數.

解：（1）由題，

（i）當時，，

時，，單調遞減，

時，，單調遞增；

（ii）當時，

時，，

，函數單調遞增，

時，，

，函數單調遞減，

時，，

，函數單調遞增；

（iii）當時，恒成立，

函數單調遞增；

（iv）當時，

時，，函數單調遞增，

時，，函數單調遞減，

時，，函數單調遞增；

（2）（i）當時，有唯一零點

，不符合題意；

由（1）知：

（ii）當時，單調遞增，

時，；時，；

則僅有唯一零點，不符合題意；

（iii）當時，

時，函數單調遞減，

時，函數單調遞增，

時，；時，，

必有兩個零點；

（iv）當，

時，函數單調遞增，

時，函數單調遞減，

時，函數單調遞增，

，

，

函數至多有一個零點；

（v）同理可知，時，函數至多有一個零點.

綜上所述：當時，函數有兩個零點.