Question

【題目】已知函數，其中．

（1）討論函數零點的個數；

（2）若不等式在區間（）上的解集為非空集合，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）先求定義域，再求導，對a進行分類討論，然后根據導數和函數單調性的關系即可求出單調區間. （2）由題意可得在上存在使 成立，即求的最小值小于等于，對a進行分類討論，求出的最值，即可解出a的范圍.

（1）函數的定義域為，

①當，即時，

∵，

∴，在上單調遞增，

②當，即時，可知函數在上單調遞減，在上單調遞增，

此時的最小值為

若，即時，恒大于0，此時函數沒有零點；

若，即時，函數有一個零點；

若，即時，函數有兩個零點.

綜上可知，當時，函數沒有零點；

當時，函數有一個零點；

當時，函數有兩個零點.

（2）由（1）可知，當時，

函數在上單調遞增，

所以只需要，

即，顯然成立，

∴；

當,即時，

函數在上單調遞減，此時需要，

即，不等式無解；

當，即時，

在上單調遞增，所以只需要，

即，顯然成立，

∴；

當，即時，

在上單調遞減，在上單調遞增，

此時只需，解得.

綜上可知實數的取值范圍為.