Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值及函數的單調區間；

（2）若的極大值和極小值分別為，，證明：．

Answer 1

【答案】（1）當時，單調遞減，當時，單調遞增；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用切線與直線相互垂直，得到斜率之間的關系，計算出的值；對求導后，對導函數因式分解，然后判斷符號并寫出單調區間；（2）設出極大值點和極小值點，利用導函數找到韋達定理與的關系（注意范圍），同時將化簡至全部用表示，然后構造函數分析最值.

（1）解：由，得，

∴，

又曲線在點處的切線與直線垂直，

∴，即.

則，得，

當時，，單調遞減，當時，，單調遞增；

（2）設，為方程的兩個實數根，則，，

由題意得，解得，

又因為函數的極大值和極小值分別為，，

則，

.

令，

則，當時，，所以是增函數，

則，即.