Question

【題目】設數列{an}滿足a1=2， ；數列{bn}的前n項和為Sn ， 且 ． （Ⅰ）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）把數列{an}和{bn}的公共項從小到大排成新數列{cn}，試寫出c1 ， c2 ， 并證明{cn}為等比數列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，當n≥2時，an=[（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）]+a1=（2n﹣1+2n﹣2+…+2）+2=2n

又因為a1=2，

所以數列{an}的通項公式為 ．

因為 ，所以，

兩式做差可得bn=3n﹣2，且b1=S1=1也滿足此式，

所以bn=3n﹣2；

（Ⅱ）由 ，bn=3n﹣2，可得c1=4=a2=b2，c2=a4=b6=16．

假設 ，

則3m﹣2=2k．

所以 ，不是數列{bn}中的項；

=3（4m﹣2）﹣2，是數列中的第4m﹣2項．

所以cn+1=b4m﹣2= ，

從而 ．

所以{cn}是首項為4，公比為4的等比數列．

【解析】（Ⅰ）根據題意，對于數列{an}，由遞推公式可得an=[（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）]+a1，計算即可得數列{an}的通項公式，對于數列{bn}，有Sn公式表示出 ，兩式相減可得bn=3n﹣2，驗證b1即可得答案；（2）根據題意，由數列{an}和{bn}的通項公式分析兩個數列的相同項，可得新數列{cn}的通項公式，由等比數列的定義分析可得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比關系的確定的相關知識，掌握等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．