Question

【題目】已知函數y=f（x）是定義域為R的偶函數． 當x≥0時，f（x）= ，若關于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且僅有6個不同實數根，則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣ ，﹣ ）∪（﹣ ，﹣1）
【解析】解：依題意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上遞增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上遞減，
當x=±2時，函數取得極大值 ；
當x=0時，取得極小值0．
要使關于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6個不同實數根，
設t=f（x），
則t2+at+b=0必有兩個根t1、t2 ，
則有兩種情況符合題意：
1）t1= ，且t2∈（1， ），
此時﹣a=t1+t2 ，
則a∈（﹣ ，﹣ ）；
2）t1∈（0，1]，t2∈（1， ），
此時同理可得a∈（﹣ ，﹣1），
綜上可得a的范圍是（﹣ ，﹣ ）∪（﹣ ，﹣1）．
所以答案是：（﹣ ，﹣ ）∪（﹣ ，﹣1）．