Question

【題目】如圖，橢圓的離心率，且橢圓C的短軸長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓上的三個動點.

（i）若直線過點D，且點是橢圓的上頂點，求面積的最大值；

（ii）試探究：是否存在是以為中心的等邊三角形，若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓的方程是

面積的最大值為

不存在是以為中心的等邊三角形.

【解析】

利用離心率以及短軸長,求出橢圓中.即可求橢圓的方程;

由已知,直線的斜率存在,設直線方程，聯立直線與橢圓方程,利用韋達定理,弦長公式,推出面積的表達式,通過換元,利用導數求出面積的最大值.

假設存在是以為中心的等邊三角形.

當在軸上時,推出與為等邊三角形矛盾.

當在軸上時,推出與為等邊三角形矛盾.

當不在坐標軸時，推出與為等邊三角形矛盾.故得解.

（1）由已知得 ，解得 ，

所以橢圓的方程是

由已知可知直線的斜率定存在，設直線的方程為，

，

由 得，所以

所以，

又，所以，

令，

所以，

令，則

所以在上單調遞增，所以當時，此時，有最小值此時有最大值.

故得解.

不存在是以為中心的等邊三角形.理由如下：

假設存在是以為中心的等邊三角形.

當在軸上時,的坐標為,則關于軸對稱,的中點在軸上.

又為的中心,所以,可知,

從而,即.

所以與為等邊三角形矛盾.

當在軸上時,的坐標為,則關于軸對稱,的中點在軸上.

又為的中心,所以,可知,

從而,即.

所以與為等邊三角形矛盾.

當不在坐標軸時,設,的中點為,則,

又為的中心,則,可知.

設,則,

又,兩式相減得,

從而，

所以,

所以與不垂直,與等邊矛盾.

綜上所述,不存在是以為中心的等邊三角形.