Question

【題目】小明設計了一款正四棱錐形狀的包裝盒，如圖所示，是邊長為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點，正好形成一個正四棱錐形狀的包裝盒，設正四棱錐底面正方形的邊長為.

（1）試用表示該四棱錐的高度，并指出的取值范圍；

（2）若要求側面積不小于，求該四棱錐的高度的最大值，并指出此時該包裝盒的容積.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】

（1）設正四棱錐側面等腰三角形高為，由正方形，可得，再由組成直角三角形，即可得到關系，進而求出的范圍；

（2）利用（1）中關系，求出側面積關于的函數，進一步求出滿足條件的范圍，可求出的最大值，即可求出結論.

（1）設正四棱錐側面等腰三角形高為，在正方形中，

，

在四棱錐中，，

，

，

；

（2）四棱錐的側面積，

，解得，

，當時，

，

此時包裝盒的容積為，

所以滿足條件的四棱錐的高度的最大值為20，

此時該包裝盒的容積為.