Question

【題目】已知函數（）.

（1）當時取得極值，求的值并判斷是極大值點還是極小值點；

（2）當函數有兩個極值點，恒有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），極大值點；（2）

【解析】

（1）由已知可得求出的值，并驗證所求的值是否滿足條件，同時可判斷是極大值點還是極小值點；

（2）根據已知有兩個不相等的正根，從而確定的范圍以及的關系，將分離參數得，再利用的關系，等價轉化為，構造函數（），應用導數方法求出的范圍，即可求出的取值范圍.

（1）（），，

則，從而（），

所以時，,為增函數；

時，,為減增函數，

所以為極大值點.

（2）函數的定義域為，有兩個極值點，

則在上有兩個不等的正實根，

，解得，

由可得，

從而問題轉化為在，成立.

而，

所以可令（），則

在是單調遞增，所以，，

所以實數的取值范圍是.