Question

已知各項均為正數的數列滿足，且，其中.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設數列滿足是否存在正整數m、n（1<m<n），使得成等比數列？若存在，求出所有的m、n的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）數列的通項公式為；（Ⅱ）存在，，．

解析試題分析：（Ⅰ）求數列的通項公式，首先須知道數列的特征，由題意可得，，由于各項均為正數，故有?即，這樣得到數列是公比為的等比數列，由可求出，從而可得數列的通項公式；（Ⅱ）設數列滿足是否存在正整數，使得成等比數列，首先求出數列的通項公式，，然后假設存在正整數，使得成等比數列，則，整理可得，只要即可，解不等式求出的范圍，看是否有正整數，從而的結論．
試題解析：（Ⅰ）??因為?即?
又?所以有?即
所以數列是公比為的等比數列?
由得?解得。
從而，數列的通項公式為。        6分
（II）=，若成等比數列，則，
即．
由，可得，
所以，解得：。
又，且，所以，此時．
故當且僅當，?使得成等比數列。        13分
考點：等比數列的定義，及通項公式，探索性命題．