Question

(本小題滿分16分)已知函數.（Ⅰ）當時，求證：函數在上單調遞增；（Ⅱ）若函數有三個零點，求的值；
（Ⅲ）若存在，使得，試求的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)見解析    (Ⅱ)   （Ⅲ）

（Ⅰ）…3分
由于，故當時，，所以，
故函數在上單調遞增……5分
（Ⅱ）當時，因為，且在R上單調遞增，故有唯一解 所以的變化情況如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	遞減	極小值	遞增

  又函數有三個零點，所以方程有三個根，
而，所以，解得…11分
（Ⅲ）因為存在，使得，
所以當時，…………12分
由（Ⅱ）知，在上遞減，在上遞增，
所以當時，，
而，
記，因為（當時取等號），
所以在上單調遞增，而，
所以當時，；當時，，
也就是當時，；當時，………………………14分
①當時，由，
②當時，由，
綜上知，所求的取值范圍為………16分