Question

【題目】已知圓C：x2+y2﹣4x+2y+m=0與y軸交于A，B兩點，且∠ACB=90°（C為圓心），過點P（0，2）且斜率為k的直線與圓C相交于M，N兩點．
（1）求實數m的值；
（2）若|MN|≥4，求k的取值范圍；
（3）若向量 與向量 共線（O為坐標原點），求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由C：x2+y2﹣4x+2y+m=0得（x﹣2）2+（y+1）2=﹣m+5，

所以圓心C（2，﹣1），r2=5﹣m．

由題意知，△ABC為等腰直角三角形．

設A，B的中點為D，連接CD，則△ACD也為等腰直角三角形，

∴ ，∴5﹣m=8，m=﹣3．

（2）解：設直線方程為y=kx+2，

則圓心（2，﹣1）到直線y=kx+2的距離

由 ，|MN|≥4，可得 ，解得

所以k的取值范圍為

（3）解：聯立直線與圓的方程 ，

消去變量y得（1+k2）x2+（6k﹣4）x+5=0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），由韋達定理得 ，

因為直線與圓C相交于不同的兩點M，N，

則有△=（6k﹣4）2﹣20（1+k2）＞0，整理得4k2﹣12k﹣1＞0，

解得 或

，

∴ ， ，

若向量 與向量 共線，則 ，

2k2﹣k﹣6=0k=2或 ．

經檢驗k=2不滿足 或 ，

所以存在實數 滿足題意

【解析】（1）由題意知，△ABC為等腰直角三角形．設A，B的中點為D，連接CD，則△ACD也為等腰直角三角形，即可求實數m的值；（2）設直線方程為y=kx+2，求出圓心（2，﹣1）到直線y=kx+2的距離，由 ，|MN|≥4，可得 ，即可解得k的取值范圍；（3）若向量 與向量 共線（O為坐標原點），則 ，即2k2﹣k﹣6=0，從而求k的值．