【題目】已知橢圓
： 
（
）的離心率為
，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為8.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）如圖，斜率為
的直線
與橢圓
交于
， 
兩點，點
在直線
的左上方.若
，且直線
， 
分別與
軸交于
， 
點，求線段
的長度.
【答案】（1）
（2）
【解析】試題分析: (1)由已知條件求出
的值,得出橢圓方程; (2)設直線
的方程, 聯立直線與橢圓方程,求出兩根之和,兩根之積,求出
,得到
為等腰直角三角形,求出線段
的長.
試題解析:（1）由題意知
，解之，得
.
所以橢圓
的方程為
；
（2）設直線
， 
，
將
代入
中，化簡整理，得
，
，得
，
于是有
， 
， 
，
注意到
，
上式中，分子
，
從而， 
，由
，可知
，
所以
是等腰直角三角形， 
，即為所求.
點睛:本題主要考查了求橢圓方程以及直線與橢圓相交時求另一線段的長,計算量比較大,屬于中檔題.解題思路:在(1)中,直接由已知條件得出;在(2)中,通過求出
,而
,得出
,得到
為等腰直角三角形,再求出線段
的長.
考前必練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在
中， 
為直角， 
．沿
的中位線
，將平面
折起，使得
，得到四棱錐
．
（Ⅰ）求證： 
平面
；
（Ⅱ）求三棱錐
的體積；
（Ⅲ）
是棱
的中點，過
做平面
與平面
平行，設平面
截四棱錐
所得截面面積為
，試求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業生產 
， 
兩種產品，根據市場調查與預測， 
產品的利潤與投資關系如圖（1）所示； 
產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖（2）所示（注：利潤和投資單位：萬元）．
（1）分別將 
， 
兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；
（2）已知該企業已籌集到 
萬元資金，并將全部投入 
， 
兩種產品的生產．問怎樣分配這 
萬元投資，才能使該企業獲得最大利潤?其最大利潤約為多少萬元?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，圓
是以
的中點為圓心， 
為半徑的圓.
（Ⅰ）若圓
的切線在
軸和
軸上截距相等，求切線方程；
（Ⅱ）若
是圓
外一點，從
向圓
引切線
， 
為切點， 
為坐標原點，且有
，求使
最小的點
的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
的上下兩個焦點分別為
， 
，過點
與
軸垂直的直線交橢圓
于
、
兩點， 
的面積為
，橢圓
的離心力為
．
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）已知
為坐標原點，直線
： 
與
軸交于點
，與橢圓
交于
， 
兩個不同的點，若存在實數
，使得
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2016年時紅軍長征勝利80周年，某市電視臺舉辦紀念紅軍長征勝利80周年知識問答，宣傳長征精神．首先在甲、乙、丙、丁四個不同的公園進行支持簽名活動，其次在各公園簽名的人中按分層抽樣的方式抽取10名幸運之星，每人獲得一個紀念品，其數據表格如下：
公園 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
獲得簽名人數 | 45 | 60 | 30 | 15 |
（Ⅰ）求此活動中各公園幸運之星的人數；
（Ⅱ）從乙和丙公園的幸運之星中任選兩人接受電視臺記者的采訪，求這兩人均來自乙公園的概率；
（Ⅲ）電視臺記者對乙公園的簽名人進行了是否有興趣研究“紅軍長征”歷史的問卷調查，統計結果如下（單位：人）：
有興趣 | 無興趣 | 合計 | |
男 | 25 | 5 | 30 |
女 | 15 | 15 | 30 |
合計 | 40 | 20 | 60 |
據此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為有興趣研究“紅軍長征”歷史與性別有關．
臨界值表：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參考公式： 
．
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